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第四节 珠算退位的减法

减法退位的规律是：退1+补（左手退1，右手加补）

①     ②      ③     ④      ⑤      ⑥      ⑦     ⑧     ⑨

10     10      10     10      10      11      12     14     14

-1     -2      -3     -4      -5      -6      -7     -8     -9

-3     -3      -5     -1      -5      -5      -5     -1     -5

 ①步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减1时根据减法退位的规律，退1＋补，1的补数是9，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合9靠梁，此时算盘的结果是9，再用右手食指在个位档上下拨3离梁，最后的结果就是6。

②步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减2时根据减法退位的规律，退1＋补，2的补数是8，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合8靠梁，此时算盘的结果是8，再用右手食指在个位档上下拨3离梁，最后的结果就是5。

③步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减3时根据减法退位的规律，退1＋补，3的补数是7，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁，此时算盘的结果7，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是2。

④步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减4时根据减法退位的规律，退1＋补，4的补数是6，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合6靠梁，此时算盘的结果是6，再用右手食指在个位档上下拨1离梁，最后的结果就是5 

⑤步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减5时根据减法退位的规律，退1＋补，5的补数是5，左手食指在十位档上下拨1同时右手食指在个位档上下拨5靠梁，此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。

⑥步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1入盘，然后减6时根据减法退位的规律，退1＋补，6的补数是4，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去1（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。 

⑦步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推2入盘，然后减7时根据减法退位的规律，退1＋补，7的补数是3，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去2（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。 

⑧步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘，然后减8时根据减法退位的规律，退1＋补，8的补数是2，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去3（凑5法双下），此时算盘的结果是6，再用右手食指在个位档上下拨1离梁，最后的结果就是5。 

⑨步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘，然后减9时根据减法退位的规律，退1＋补，9的补数是1，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去4（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。

※基本功训练：

定数1—9每个加完之后减到0

达标要求：每个1分钟之内打完

第五节 珠算多为位数加减法

运算法则是：个位固定，数位对齐，从左到右，同位相加减。

 ①         ②           ③

 28        684         7,632

 74        319        -3,637

-53       -549         5,047

①步骤：在算盘的个位档、十位档上右手同时上拨2、双合8入盘。

然后加74，先加十位7右手拇指、食指在十位档上双合7入盘，加个位4时右手在个位档上双分6离梁、在十位档上双分9离梁同时左手食指在百位档上进1，此时算盘的结果为102。

减53时先减十位档的5，左手食指在百位档下拨1同时右手食指在十位档上下拨5靠梁，减3时，左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁，最后算盘的结果是49。

②步骤：在算盘的百位档、十位档、个位档上右手同时双合6、双合8、上推4靠梁。

加319时，先加百位档的3，右手拇指在百位档上推3入盘，加十位档的1，右手拇指在十位档上推1入盘，加个位档的9时，右手食指在个位档下拨1离梁、右手拇指、食指在十位档、百位档双分9离梁同时左手食指在千位档上挑1入盘，此时算盘的结果是1,003。                                                                

再减549时，先减百位档的5，左手食指在千位档下拨1同时右手食指在百位档下拨5靠梁，减十位档的4时，左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在十位档上双合6靠梁，减9时，左手食指在十位档下拨1同时右手拇指在个位档上拨1靠梁，最后算盘的结果是454。

③步骤：在算盘的千位档、百位档、十位档、个位档右手同时双合7、双合6、上推3、上推2入盘。

然后减3,637时先减千位档的3，右手拇指、食指在千位档上2上5（双上），减百位档的6时，右手拇指、食指在百位档双分6离梁，减十位档的3时，右手食指在十位档下拨3离梁，减7时，左手食指在千位档下拨1同时右手拇指、食指在百位档、十位档双合9靠梁、在个位档右手拇指、食指下5去2.，此时算盘的结果是3995。

再加5,047时，先加千位档的5，右手食指在千位档下拨5靠梁，百位档是0就不用加了，加十位档的4时，右手拇指食指在十位档双分6、在百位档双分9同时左手食指在千位档上挑1靠梁，加各位档的7时，右手拇指、食指在个位档上2上5同时左手食指在十位档上挑1靠梁。最后算盘的结果就是9,042。

※基本功训练：

常数15：1,500   常数625：62,500   打百子：5,050  

达标要求：每个1分30秒之内加完减完。

常数16,875：1,687,500         （不限时，越快越好）

常数123,456,789: 12,345,678,900（不限时，越快越好）

第六节 珠算负数加减法

负数：小于0数叫负数。

例：256-753=-497

原理：减不开时用大数减小数，再添个-号。

第三节  珠算进位的加法

   如果两个数相加和等于10，那么这两个数就互为补数。像1—9、2—8、3—7、4—6、5—5

   加法进位的规律是进1-补（左手进1，右手减补）

   ①      ②       ③      ④       ⑤

   4       1        3       7        1    

   5       7        5       2        8

   1       2        3       4        5

   ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后右手食指下拨5入盘，此时算盘的结果是9，再加1时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，1的补数是9，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分9离梁。那么最后结果就是10。 

   ②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合7入盘，此时算盘的结果是8，再加2时，个位以经不够加了需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，2的补数是8，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分8离梁。那么最后结果就是10。 

   ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后右手食指下拨5入盘，此时算盘的结果是8，再加3时，个位已经不够了需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，3的补数是7，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分7离梁。那么最后结果就是11。

     ④步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是9，再加4时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，4的补数是6，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分6离梁。那么最后结果就是13。

     ⑤步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合8入盘，此时算盘的结果是9，再加5时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，5的补数是5，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位上挑5离梁。那么最后结果就是14。

     ※基本功训练：

   定数1：150 定数2：240 定数3：360 定数4：480 定数5：750

   达标要求：每个30秒之内打完

   ①      ②       ③      ④       ⑤       ⑥       ⑦      ⑧

  4        5        3       5        3         6         2        5

  6       6        7       7        8        8        9        9

  2       5        5       1        2        5        5        5

   ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后加6时根据加法进位的规律进1减补，6的补数是4，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨4离盘，此时算盘的结果是10，再用右手拇指在个位上推2入盘，那么最后结果就是12。

    ②步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加6时根据加法进位的规律进1减补，6的补数是4，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上1上5（破5法双上），此时算盘的结果是11，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是16。

    ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后加7时根据加法进位的规律进1减补，7的补数是3，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨3离盘，此时算盘的结果是10，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是15。

    ④步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加7时根据加法进位的规律进1减补，7的补数是3，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上2上5（破5法双上），此时算盘的结果是12，再用右手姆指在个位上推1入盘，那么最后结果就是13。

    ⑤步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后加8时根据加法进位的规律进1减补，8的补数是2，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨2离盘，此时算盘的结果是11，再用右手拇指在个位上推2入盘，那么最后结果就是13。

    ⑥步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘，然后加8时根据加法进位的规律进1减补，8的补数是2，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上3上5（破5法双上），此时算盘的结果是14，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是19。

    ⑦步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘，然后加9时根据加法进位的规律进1减补，9的补数是1，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨1离盘，此时算盘的结果是11，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是16。

    ⑧步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加9时根据加法进位的规律进1减补，9的补数是1，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上4上5（破5法双上），此时算盘的结果是14，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是19。

原文章博客见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_69a201680100m1oz.html

第一章     珠算基础知识

第一节   认识算盘

算盘主要由4个部分组成：框、梁、档、珠。

框：算盘的四周叫做框。上边的叫上框，下边的叫下框，左边的叫左框，右边的叫右框。

梁：上框和下框中间的横木就叫梁。梁上面的点叫做定位点。我们一般把从右往左数第二个定位点定做个位。个位的左边是十位、百位、千位……    个位的右边是十分位、百分位、千分位……

档：算盘上用来穿珠子的小棍就叫档。

珠：就是算盘珠，有上珠、下珠。上珠一个代表5，下珠一个代表1。

第二节   打算盘的姿势

握笔：

打算盘时必须握笔，将笔得上端夹在右手的拇指和食指之间，下端也就是笔尖部分夹在右手的中指和无名指之间，同时，中指、无名指、小指向手心自然弯曲。

握盘：

用左手的小指、无名指和大拇指分别轻轻地放在算盘的上框和下框上。两只胳膊必须要抬起来和桌子平行。这是想打快算盘的前提。

清盘：

左手拇指、食指在梁上从左往右将上珠、下珠分开。

坐姿：

身体坐直并稍微向前倾，两脚平放在地上。

第三节 数码训练

数码就是数字。打算盘要快，写数码也要快。

1234567890 每分钟最少20遍。

多练习珠译数、数译珠的训练。

 第二章  珠算加减法 

 第一节 珠算不进位的加法

直接加：

①        ②       ③       ④

 1        1        1        1

 2        3        2        7

 1        5        6        1

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是3，再用右手拇指上推1入盘，那么最后结果就是4。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再用右手食指下拨5入盘，那么最后结果就是9。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是3，再用右手拇指、食指双合6入盘，那么最后的结果就是9。

④步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合7入盘，此时算盘的结果是8，再用右手拇指上推1入盘，那么最后结果就是9。

凑5加：

如果两个数相加和等于5，那么这两个数就互为凑数。像1—4、2—3

规律是+5-凑（双下）：

①       ②       ③       ④    

1        1        2        1         

3        3       3        4      

1        2       2        3     

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再加1时就用到+5-凑，1的凑数是4，右手食指下5同时拇指去4（双下），那么最后结果就是5。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再加2时就用到+5-凑，2的凑数是3，右手食指下5同时拇指去3（双下），那么最后的结果就是6。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘，然后加3时就用到+5-凑，3的凑数是2，右手食指下5同时拇指去2（双下），此时算盘的结果是5，再用右手拇指上推2入盘，那么最后的结果就是7。

④步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后加4时就用到+5-凑，4的凑数是1，右手食指下5同时拇指去1（双下）此时算盘的结果是5，再用右手拇指上推3入盘，那么最后的结果就是8。

第二节 珠算够减的减法

直接减：

 ①       ②       ③

 4        9        8   

-2       -2       -2  

-1       -5       -6  

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是2，再用右手食指下拨1离盘，最后的结果就是1。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是7，再用右手食指上挑5离盘，最后的结果就是2。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合8入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是6，再用右手拇指、食指双分6离盘，最后的结果就是0。

破5减：

规律是-5+凑（双上）:

 ①       ②      ③       ④

 9        6       7        5           

-4       -2      -3       -4    

-1       -3      -2       -1    

 ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘，然后右手食指下拨4离盘，此时算盘上的结果是5。再减1，根据-5＋凑，1的凑数是4，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨4靠梁（双上），最后的结果就是4。

 ②步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘，然后减2，根据-5＋凑，2的凑数是3，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨3靠梁，此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨3离梁，最后的结果就是1。

 ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘，然后减3，根据-5＋凑，3的凑数是2，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨2靠梁，此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨2离梁，最后的结果就是2。

 ④步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘。然后减4，根据-5＋凑，4的凑数是1，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨1靠梁，此时算盘上的结果是1。再用右手食指下拨1离梁，最后的结果就是0。

根据我昨日证明公式1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4的方法，我重新排列了正方形的位置，终于成功证明了公式1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6。证明图如下：

图中有n个正方形(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。

矩形的宽即n

矩形的长：1+2+3+…+n=n(n+1)/2=(n²+n)/2

矩形面积：n(n²+n)/2=(n³+n²)/2

左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。

每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=i(i+1)/2=(i²+i)/2

则第i条面积也为(i²+i)/2。

所有n-1条的总面积：

(1²+1)/2+(2²+2)/2+(3²+3)/2+…+[(n-1)²+(n-1)]/2

={[1²+2²+3²+…+(n-1)²]+[1+2+3+…+(n-1)]}/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-n²+n(n-1)/2]/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-2n²/2+(n²-n)/2]/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-(n²+n)/2]/2

为便于书写，记1²+2²+3²+…+n²=t²

显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则

(n³+n²)/2=t+[t-(n²+n)/2]/2

n³+n²=2t+t-(n²+n)/2

2n³+2n²=6t-n²-n

6t=2n³+3n²+n

t=n(n+1)(2n+1)/6

即：

1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

为证明1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6，我决定借助于几何图形。如图：

图中有n个小正方形（我只画了5个）连接，边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中，则

大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2

大正方形面积=[n(n+1)/2]²=(n⁴+2n³+n²)/4

将空余部分分条。

先看左下部分，共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条，则：

该条宽度即为i。

该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n²+n-i²-i)/2

则该条面积=i(n²+n-i²-i)/2=(in²+in-i³-i²)/2

则左下半侧n-1条总面积为：

(1*n²+1*n-1³-1²)/2+(2*n²+2*n-2³-2²)/2+(3*n²+3*n-3³-3²)/2+…+[(n-1)*n²+(n-1)*n-(n-1)³-(n-1)²]/2

={[1*n²+2*n²+3*n²+…+(n-1)n²]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[1³+2³+3³+…+(n-1)³]-[1²+2²+3²+…+(n-1)²]}/2

={[1+2+3+…+(n-1)]n²+[1+2+3+…+(n-1)]n-[1³+2³+3³+…+(n-1)³]-[1²+2²+3²+…+(n-1)²]}/2

=[n(n-1)/2*n²+n(n-1)/2*n-(1³+2³+3³+…+n³)+n³-(1²+2²+3²+…+n²)+n²]/2

=[n³(n-1)/2+n²(n-1)/2-(1³+2³+3³+…+n³)-(1²+2²+3²+…+n²)+n³+n²]/2

为方便书写，记1³+2³+3³+…+n³=t₂，1²+2²+3²+…+n²=t₃

两侧全部空余部分面积为：

n³(n-1)/2+n²(n-1)/2-t₂-t₃+n³+n²

=(n⁴-n³)/2+(n³-n²)/2+2n³/2+2n²/2-t₂-t₃

=(n⁴-n³+n³-n²+2n³+2n²)/2-t₂-t₃

=(n⁴+2n³+n²)/2-t₂-t₃

根据：空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积，得：

(n⁴+2n³+n²)/2-t₂-t₃+t₃=(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(n⁴+2n³+n²)/2-(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(2n⁴+4n³+2n²)/4-(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(n⁴+2n³+n²)/4=n²(n+1)²/4

即：

1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4

本来要证1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6，却证出了1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4，可谓“有心栽花花不成，无心插柳柳成荫。”

1²+2²+3²+…+n²=1/6*n(n+1)(2n+1)是在竞赛中较常用的公式。但一般的竞赛参考书只给出公式，不给予证明。在和同学探讨证明方法时，许多同学想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法

当n=1,左边=1²=1,右边=1/6*1*(1+1)*(2*1+1)=1

左边=右边,∴n=1时,原式成立.

假设n=k时, 1²+2²+3²+…+k²=[k(k+1)(2k+1)]/6成立,

则n=k+1时,

左边=1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²

=1/6*k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

=(k+1)(1/3*k²+7/6*k+1)

=1/6*(k+1)(2k²+7k+6)

=1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)

=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

右边=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

左边=右边,

∴n=k+1时,原式成立.

又∵n=1时,原式成立,

∴对任意n∈Z₊,1²+2²+3²+…+n²=1/6*n(n+1)(2n+1)都成立.

数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，我们对此不太满足。归纳法只适用于知道了这个公式”长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的1²+2²+3²+…+n²,一步步把右边的1/6*n(n+1)(2n+1)”从无到有”地推算出来的.

我们几个同学也决定试试.

一位同学表示:”可不可以从以前学过的一个简单的公式1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到点启发? 1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)的左边是连续正整数的一次方相加,右边的化简式却是个二次整式.现在我们看到的1²+2²+3²+…+n²是连续正整数的平方相加,应该可以大胆猜测,它的化简式是个三次整式.”

大家表示赞同:”有那么多平方的式子,从立方的角度去研究,就有种’居高临下’的感觉,应该有助于解决问题.可以从有关立方的几个公式出发,把它往1²+2²+3²+…+n²上面转化.”

经过我们的努力,找到了一种不错的方法如下:

方法二:代数推导法

由公式(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+3ab(a+b)+b³,得

1³=(0+1)³=0³+3*0*1*(0+1)+1³=0³+3*0*1+1

2³=(1+1)³=1³+3*1*1*(1+1)+1³=1³+3*1*2+1

3³=(2+1)³=2³+3*2*1*(2+1)+1³=2³+3*2*3+1

……

n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)*1*(n-1+1)+1³=(n-1)³+3n(n-1)+1

将以上所有连等式的最左边和最右边分别加起来,得,

1³+2³+3³+…+n³=0³+1³+2³+…+(n-1)³+3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n

将左右两边相同的项消去,得

n³=3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n,整理得

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n=1/3*(n³-n)

而0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n

=1²+2²+3²+…+n²-(1+2+3+…+n)

= 1²+2²+3²+…+n²-1/2*n(n+1)

所以1²+2²+3²+…+n²-1/2*n(n+1)=1/3*(n³-n)

即1²+2²+3²+…+n²

=1/2*n(n+1)+1/3*(n³-n)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

完成了代数推导法后,大家都觉得刚才那位同学说的,”从1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到启发”体现了一种类比思想,非常好.那么,这个公式能不能从其他角度启发我们呢?

“我们以前学1+2+3+…+n=1/2*n(n+1),是怎么证明它的?”又一位同学问.

大家说了许多方法,但是好像都难以推广到1²+2²+3²+…+n²上来.

“我倒听说过一种几何方法”,我说,”如图1,每个小正方形边长为1,一共有n行小正方形,第一行有1个,第二行有2个,第三行有3个……第n行有n个.所有小正方形的面积之和就是(1+2+3+…+n),而所有小正方形的面积之和又等于一个直角边为(n+1)的等腰直角三角形的面积减去阴影部分的面积.阴影部分由(n+1)个直角边为1的等腰直角三角形组成.所以1+2+3+…n=1/2*(n+1)^2-1/2*(n+1)=1/2*n*(n+1).

图1

大家纷纷表示这个方法有意思:”既然用’面积思想’可以来证1+2+3+…n=1/2*n*(n+1),那么1²+2²+3²+…+n²应该能用’体积思想’化简.”我们探讨之后,得到了第三种方法:

方法三:立体几何法

如图2,这堆”积木”是由1*1*1的小立方体搭起来的.从上往下数,它的第一层有1块小立方体,第二层有2^2块,第三曾有3^2块……第n层有n^2块.

图2

因此它的体积可以用1²+2²+3²+…+n²来表示.

这堆积木的形状不规则,体积不便计算.但通过添加一些”边角料”,可以让它变成一个规则的四棱锥,如图3.

图3

四棱锥的体积减去的”边角料”的体积,就得到所有小立方体的总体积.

四棱锥的