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第四节 珠算退位的减法

减法退位的规律是：退1+补（左手退1，右手加补）

①     ②      ③     ④      ⑤      ⑥      ⑦     ⑧     ⑨

10     10      10     10      10      11      12     14     14

-1     -2      -3     -4      -5      -6      -7     -8     -9

-3     -3      -5     -1      -5      -5      -5     -1     -5

 ①步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减1时根据减法退位的规律，退1＋补，1的补数是9，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合9靠梁，此时算盘的结果是9，再用右手食指在个位档上下拨3离梁，最后的结果就是6。

②步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减2时根据减法退位的规律，退1＋补，2的补数是8，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合8靠梁，此时算盘的结果是8，再用右手食指在个位档上下拨3离梁，最后的结果就是5。

③步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减3时根据减法退位的规律，退1＋补，3的补数是7，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁，此时算盘的结果7，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是2。

④步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减4时根据减法退位的规律，退1＋补，4的补数是6，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档上双合6靠梁，此时算盘的结果是6，再用右手食指在个位档上下拨1离梁，最后的结果就是5 

⑤步骤：在算盘的十位档上右手拇指上推1入盘，然后减5时根据减法退位的规律，退1＋补，5的补数是5，左手食指在十位档上下拨1同时右手食指在个位档上下拨5靠梁，此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。

⑥步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1入盘，然后减6时根据减法退位的规律，退1＋补，6的补数是4，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去1（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。 

⑦步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推2入盘，然后减7时根据减法退位的规律，退1＋补，7的补数是3，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去2（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。 

⑧步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘，然后减8时根据减法退位的规律，退1＋补，8的补数是2，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去3（凑5法双下），此时算盘的结果是6，再用右手食指在个位档上下拨1离梁，最后的结果就是5。 

⑨步骤：在算盘的十位档、个位档上右手拇指同时上推1、上推4入盘，然后减9时根据减法退位的规律，退1＋补，9的补数是1，左手食指在十位档上下拨1同时右手拇指、食指在个位档下5去4（凑5法双下），此时算盘的结果是5，再用右手食指在个位档上上挑5离梁，最后的结果就是0。

※基本功训练：

定数1—9每个加完之后减到0

达标要求：每个1分钟之内打完

第五节 珠算多为位数加减法

运算法则是：个位固定，数位对齐，从左到右，同位相加减。

 ①         ②           ③

 28        684         7,632

 74        319        -3,637

-53       -549         5,047

①步骤：在算盘的个位档、十位档上右手同时上拨2、双合8入盘。

然后加74，先加十位7右手拇指、食指在十位档上双合7入盘，加个位4时右手在个位档上双分6离梁、在十位档上双分9离梁同时左手食指在百位档上进1，此时算盘的结果为102。

减53时先减十位档的5，左手食指在百位档下拨1同时右手食指在十位档上下拨5靠梁，减3时，左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在个位档上双合7靠梁，最后算盘的结果是49。

②步骤：在算盘的百位档、十位档、个位档上右手同时双合6、双合8、上推4靠梁。

加319时，先加百位档的3，右手拇指在百位档上推3入盘，加十位档的1，右手拇指在十位档上推1入盘，加个位档的9时，右手食指在个位档下拨1离梁、右手拇指、食指在十位档、百位档双分9离梁同时左手食指在千位档上挑1入盘，此时算盘的结果是1,003。                                                                

再减549时，先减百位档的5，左手食指在千位档下拨1同时右手食指在百位档下拨5靠梁，减十位档的4时，左手中指在十位档上挑5离梁、左手食指在十位档上挑4靠梁同时右手拇指、食指在十位档上双合6靠梁，减9时，左手食指在十位档下拨1同时右手拇指在个位档上拨1靠梁，最后算盘的结果是454。

③步骤：在算盘的千位档、百位档、十位档、个位档右手同时双合7、双合6、上推3、上推2入盘。

然后减3,637时先减千位档的3，右手拇指、食指在千位档上2上5（双上），减百位档的6时，右手拇指、食指在百位档双分6离梁，减十位档的3时，右手食指在十位档下拨3离梁，减7时，左手食指在千位档下拨1同时右手拇指、食指在百位档、十位档双合9靠梁、在个位档右手拇指、食指下5去2.，此时算盘的结果是3995。

再加5,047时，先加千位档的5，右手食指在千位档下拨5靠梁，百位档是0就不用加了，加十位档的4时，右手拇指食指在十位档双分6、在百位档双分9同时左手食指在千位档上挑1靠梁，加各位档的7时，右手拇指、食指在个位档上2上5同时左手食指在十位档上挑1靠梁。最后算盘的结果就是9,042。

※基本功训练：

常数15：1,500   常数625：62,500   打百子：5,050  

达标要求：每个1分30秒之内加完减完。

常数16,875：1,687,500         （不限时，越快越好）

常数123,456,789: 12,345,678,900（不限时，越快越好）

第六节 珠算负数加减法

负数：小于0数叫负数。

例：256-753=-497

原理：减不开时用大数减小数，再添个-号。

第三节  珠算进位的加法

   如果两个数相加和等于10，那么这两个数就互为补数。像1—9、2—8、3—7、4—6、5—5

   加法进位的规律是进1-补（左手进1，右手减补）

   ①      ②       ③      ④       ⑤

   4       1        3       7        1    

   5       7        5       2        8

   1       2        3       4        5

   ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后右手食指下拨5入盘，此时算盘的结果是9，再加1时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，1的补数是9，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分9离梁。那么最后结果就是10。 

   ②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合7入盘，此时算盘的结果是8，再加2时，个位以经不够加了需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，2的补数是8，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分8离梁。那么最后结果就是10。 

   ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后右手食指下拨5入盘，此时算盘的结果是8，再加3时，个位已经不够了需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，3的补数是7，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分7离梁。那么最后结果就是11。

     ④步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是9，再加4时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，4的补数是6，左手食指在十位上挑1的同时右手拇指、食指在个位双分6离梁。那么最后结果就是13。

     ⑤步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合8入盘，此时算盘的结果是9，再加5时，个位已满需向十位进位，根据加法进位的规律进1－补，5的补数是5，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位上挑5离梁。那么最后结果就是14。

     ※基本功训练：

   定数1：150 定数2：240 定数3：360 定数4：480 定数5：750

   达标要求：每个30秒之内打完

   ①      ②       ③      ④       ⑤       ⑥       ⑦      ⑧

  4        5        3       5        3         6         2        5

  6       6        7       7        8        8        9        9

  2       5        5       1        2        5        5        5

   ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后加6时根据加法进位的规律进1减补，6的补数是4，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨4离盘，此时算盘的结果是10，再用右手拇指在个位上推2入盘，那么最后结果就是12。

    ②步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加6时根据加法进位的规律进1减补，6的补数是4，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上1上5（破5法双上），此时算盘的结果是11，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是16。

    ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后加7时根据加法进位的规律进1减补，7的补数是3，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨3离盘，此时算盘的结果是10，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是15。

    ④步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加7时根据加法进位的规律进1减补，7的补数是3，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上2上5（破5法双上），此时算盘的结果是12，再用右手姆指在个位上推1入盘，那么最后结果就是13。

    ⑤步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推3入盘，然后加8时根据加法进位的规律进1减补，8的补数是2，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨2离盘，此时算盘的结果是11，再用右手拇指在个位上推2入盘，那么最后结果就是13。

    ⑥步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘，然后加8时根据加法进位的规律进1减补，8的补数是2，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上3上5（破5法双上），此时算盘的结果是14，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是19。

    ⑦步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘，然后加9时根据加法进位的规律进1减补，9的补数是1，左手食指在十位上挑1的同时右手食指在个位下拨1离盘，此时算盘的结果是11，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是16。

    ⑧步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘，然后加9时根据加法进位的规律进1减补，9的补数是1，左手食指在十位上挑1的同时右手拇、指食指在个位上4上5（破5法双上），此时算盘的结果是14，再用右手食指在个位下拨5入盘，那么最后结果就是19。

原文章博客见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_69a201680100m1oz.html

第一章     珠算基础知识

第一节   认识算盘

算盘主要由4个部分组成：框、梁、档、珠。

框：算盘的四周叫做框。上边的叫上框，下边的叫下框，左边的叫左框，右边的叫右框。

梁：上框和下框中间的横木就叫梁。梁上面的点叫做定位点。我们一般把从右往左数第二个定位点定做个位。个位的左边是十位、百位、千位……    个位的右边是十分位、百分位、千分位……

档：算盘上用来穿珠子的小棍就叫档。

珠：就是算盘珠，有上珠、下珠。上珠一个代表5，下珠一个代表1。

第二节   打算盘的姿势

握笔：

打算盘时必须握笔，将笔得上端夹在右手的拇指和食指之间，下端也就是笔尖部分夹在右手的中指和无名指之间，同时，中指、无名指、小指向手心自然弯曲。

握盘：

用左手的小指、无名指和大拇指分别轻轻地放在算盘的上框和下框上。两只胳膊必须要抬起来和桌子平行。这是想打快算盘的前提。

清盘：

左手拇指、食指在梁上从左往右将上珠、下珠分开。

坐姿：

身体坐直并稍微向前倾，两脚平放在地上。

第三节 数码训练

数码就是数字。打算盘要快，写数码也要快。

1234567890 每分钟最少20遍。

多练习珠译数、数译珠的训练。

 第二章  珠算加减法 

 第一节 珠算不进位的加法

直接加：

①        ②       ③       ④

 1        1        1        1

 2        3        2        7

 1        5        6        1

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是3，再用右手拇指上推1入盘，那么最后结果就是4。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再用右手食指下拨5入盘，那么最后结果就是9。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推2入盘，此时算盘的结果是3，再用右手拇指、食指双合6入盘，那么最后的结果就是9。

④步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指、食指双合7入盘，此时算盘的结果是8，再用右手拇指上推1入盘，那么最后结果就是9。

凑5加：

如果两个数相加和等于5，那么这两个数就互为凑数。像1—4、2—3

规律是+5-凑（双下）：

①       ②       ③       ④    

1        1        2        1         

3        3       3        4      

1        2       2        3     

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再加1时就用到+5-凑，1的凑数是4，右手食指下5同时拇指去4（双下），那么最后结果就是5。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后右手拇指上推3入盘，此时算盘的结果是4，再加2时就用到+5-凑，2的凑数是3，右手食指下5同时拇指去3（双下），那么最后的结果就是6。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推2入盘，然后加3时就用到+5-凑，3的凑数是2，右手食指下5同时拇指去2（双下），此时算盘的结果是5，再用右手拇指上推2入盘，那么最后的结果就是7。

④步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推1入盘，然后加4时就用到+5-凑，4的凑数是1，右手食指下5同时拇指去1（双下）此时算盘的结果是5，再用右手拇指上推3入盘，那么最后的结果就是8。

第二节 珠算够减的减法

直接减：

 ①       ②       ③

 4        9        8   

-2       -2       -2  

-1       -5       -6  

①步骤：在算盘的个位档上右手拇指上推4入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是2，再用右手食指下拨1离盘，最后的结果就是1。

②步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是7，再用右手食指上挑5离盘，最后的结果就是2。

③步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合8入盘，然后右手食指下拨2离盘，此时算盘的结果是6，再用右手拇指、食指双分6离盘，最后的结果就是0。

破5减：

规律是-5+凑（双上）:

 ①       ②      ③       ④

 9        6       7        5           

-4       -2      -3       -4    

-1       -3      -2       -1    

 ①步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合9入盘，然后右手食指下拨4离盘，此时算盘上的结果是5。再减1，根据-5＋凑，1的凑数是4，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨4靠梁（双上），最后的结果就是4。

 ②步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合6入盘，然后减2，根据-5＋凑，2的凑数是3，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨3靠梁，此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨3离梁，最后的结果就是1。

 ③步骤：在算盘的个位档上右手拇指、食指双合7入盘，然后减3，根据-5＋凑，3的凑数是2，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨2靠梁，此时算盘上的结果是4。再用右手食指下拨2离梁，最后的结果就是2。

 ④步骤：在算盘的个位档上右手食指下拨5入盘。然后减4，根据-5＋凑，4的凑数是1，右手食指上挑5离梁同时拇指上拨1靠梁，此时算盘上的结果是1。再用右手食指下拨1离梁，最后的结果就是0。

根据我昨日证明公式1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4的方法，我重新排列了正方形的位置，终于成功证明了公式1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6。证明图如下：

图中有n个正方形(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。

矩形的宽即n

矩形的长：1+2+3+…+n=n(n+1)/2=(n²+n)/2

矩形面积：n(n²+n)/2=(n³+n²)/2

左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为n-1条。

每条宽度均为1。从上向下数第i条长度=1+2+3+…+i=i(i+1)/2=(i²+i)/2

则第i条面积也为(i²+i)/2。

所有n-1条的总面积：

(1²+1)/2+(2²+2)/2+(3²+3)/2+…+[(n-1)²+(n-1)]/2

={[1²+2²+3²+…+(n-1)²]+[1+2+3+…+(n-1)]}/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-n²+n(n-1)/2]/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-2n²/2+(n²-n)/2]/2

=[(1²+2²+3²+…+n²)-(n²+n)/2]/2

为便于书写，记1²+2²+3²+…+n²=t²

显然，大矩形面积=全部正方形面积+空余部分面积，则

(n³+n²)/2=t+[t-(n²+n)/2]/2

n³+n²=2t+t-(n²+n)/2

2n³+2n²=6t-n²-n

6t=2n³+3n²+n

t=n(n+1)(2n+1)/6

即：

1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6

为证明1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6，我决定借助于几何图形。如图：

图中有n个小正方形（我只画了5个）连接，边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中，则

大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2

大正方形面积=[n(n+1)/2]²=(n⁴+2n³+n²)/4

将空余部分分条。

先看左下部分，共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条，则：

该条宽度即为i。

该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n²+n-i²-i)/2

则该条面积=i(n²+n-i²-i)/2=(in²+in-i³-i²)/2

则左下半侧n-1条总面积为：

(1*n²+1*n-1³-1²)/2+(2*n²+2*n-2³-2²)/2+(3*n²+3*n-3³-3²)/2+…+[(n-1)*n²+(n-1)*n-(n-1)³-(n-1)²]/2

={[1*n²+2*n²+3*n²+…+(n-1)n²]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[1³+2³+3³+…+(n-1)³]-[1²+2²+3²+…+(n-1)²]}/2

={[1+2+3+…+(n-1)]n²+[1+2+3+…+(n-1)]n-[1³+2³+3³+…+(n-1)³]-[1²+2²+3²+…+(n-1)²]}/2

=[n(n-1)/2*n²+n(n-1)/2*n-(1³+2³+3³+…+n³)+n³-(1²+2²+3²+…+n²)+n²]/2

=[n³(n-1)/2+n²(n-1)/2-(1³+2³+3³+…+n³)-(1²+2²+3²+…+n²)+n³+n²]/2

为方便书写，记1³+2³+3³+…+n³=t₂，1²+2²+3²+…+n²=t₃

两侧全部空余部分面积为：

n³(n-1)/2+n²(n-1)/2-t₂-t₃+n³+n²

=(n⁴-n³)/2+(n³-n²)/2+2n³/2+2n²/2-t₂-t₃

=(n⁴-n³+n³-n²+2n³+2n²)/2-t₂-t₃

=(n⁴+2n³+n²)/2-t₂-t₃

根据：空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积，得：

(n⁴+2n³+n²)/2-t₂-t₃+t₃=(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(n⁴+2n³+n²)/2-(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(2n⁴+4n³+2n²)/4-(n⁴+2n³+n²)/4

t₂=(n⁴+2n³+n²)/4=n²(n+1)²/4

即：

1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4

本来要证1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6，却证出了1³+2³+3³+…+n³=n²(n+1)²/4，可谓“有心栽花花不成，无心插柳柳成荫。”

1²+2²+3²+…+n²=1/6*n(n+1)(2n+1)是在竞赛中较常用的公式。但一般的竞赛参考书只给出公式，不给予证明。在和同学探讨证明方法时，许多同学想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法

当n=1,左边=1²=1,右边=1/6*1*(1+1)*(2*1+1)=1

左边=右边,∴n=1时,原式成立.

假设n=k时, 1²+2²+3²+…+k²=[k(k+1)(2k+1)]/6成立,

则n=k+1时,

左边=1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²

=1/6*k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

=(k+1)(1/3*k²+7/6*k+1)

=1/6*(k+1)(2k²+7k+6)

=1/6*(k+1)(k+2)(2k+3)

=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

右边=1/6*(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

左边=右边,

∴n=k+1时,原式成立.

又∵n=1时,原式成立,

∴对任意n∈Z₊,1²+2²+3²+…+n²=1/6*n(n+1)(2n+1)都成立.

数学归纳法步骤简单、计算方便。但是，我们对此不太满足。归纳法只适用于知道了这个公式”长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的1²+2²+3²+…+n²,一步步把右边的1/6*n(n+1)(2n+1)”从无到有”地推算出来的.

我们几个同学也决定试试.

一位同学表示:”可不可以从以前学过的一个简单的公式1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到点启发? 1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)的左边是连续正整数的一次方相加,右边的化简式却是个二次整式.现在我们看到的1²+2²+3²+…+n²是连续正整数的平方相加,应该可以大胆猜测,它的化简式是个三次整式.”

大家表示赞同:”有那么多平方的式子,从立方的角度去研究,就有种’居高临下’的感觉,应该有助于解决问题.可以从有关立方的几个公式出发,把它往1²+2²+3²+…+n²上面转化.”

经过我们的努力,找到了一种不错的方法如下:

方法二:代数推导法

由公式(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³=a³+3ab(a+b)+b³,得

1³=(0+1)³=0³+3*0*1*(0+1)+1³=0³+3*0*1+1

2³=(1+1)³=1³+3*1*1*(1+1)+1³=1³+3*1*2+1

3³=(2+1)³=2³+3*2*1*(2+1)+1³=2³+3*2*3+1

……

n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)*1*(n-1+1)+1³=(n-1)³+3n(n-1)+1

将以上所有连等式的最左边和最右边分别加起来,得,

1³+2³+3³+…+n³=0³+1³+2³+…+(n-1)³+3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n

将左右两边相同的项消去,得

n³=3*[0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n]+n,整理得

0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n=1/3*(n³-n)

而0*1+1*2+2*3+…+(n-1)*n

=1²+2²+3²+…+n²-(1+2+3+…+n)

= 1²+2²+3²+…+n²-1/2*n(n+1)

所以1²+2²+3²+…+n²-1/2*n(n+1)=1/3*(n³-n)

即1²+2²+3²+…+n²

=1/2*n(n+1)+1/3*(n³-n)

=1/6*n(n+1)(2n+1)

完成了代数推导法后,大家都觉得刚才那位同学说的,”从1+2+3+…+n=1/2*n(n+1)中得到启发”体现了一种类比思想,非常好.那么,这个公式能不能从其他角度启发我们呢?

“我们以前学1+2+3+…+n=1/2*n(n+1),是怎么证明它的?”又一位同学问.

大家说了许多方法,但是好像都难以推广到1²+2²+3²+…+n²上来.

“我倒听说过一种几何方法”,我说,”如图1,每个小正方形边长为1,一共有n行小正方形,第一行有1个,第二行有2个,第三行有3个……第n行有n个.所有小正方形的面积之和就是(1+2+3+…+n),而所有小正方形的面积之和又等于一个直角边为(n+1)的等腰直角三角形的面积减去阴影部分的面积.阴影部分由(n+1)个直角边为1的等腰直角三角形组成.所以1+2+3+…n=1/2*(n+1)^2-1/2*(n+1)=1/2*n*(n+1).

图1

大家纷纷表示这个方法有意思:”既然用’面积思想’可以来证1+2+3+…n=1/2*n*(n+1),那么1²+2²+3²+…+n²应该能用’体积思想’化简.”我们探讨之后,得到了第三种方法:

方法三:立体几何法

如图2,这堆”积木”是由1*1*1的小立方体搭起来的.从上往下数,它的第一层有1块小立方体,第二层有2^2块,第三曾有3^2块……第n层有n^2块.

图2

因此它的体积可以用1²+2²+3²+…+n²来表示.

这堆积木的形状不规则,体积不便计算.但通过添加一些”边角料”,可以让它变成一个规则的四棱锥,如图3.

图3

四棱锥的体积减去的”边角料”的体积,就得到所有小立方体的总体积.

四棱锥的

1：《君主论》

作　者：（意）马基雅维利

该书论述了君主应该怎样进行统治和维持，认为军队是一切国家的主要基础，君主要拥有自己的军队，并应靠残暴和讹诈取胜。认为君王在统治之时要以实力原则，不择手段去实现自己的目的，同时要效法狐狸与狮子，有狐狸的狡猾，狮子的勇猛。被称为邪恶的圣经,是很多君主的床头或身上必带书.

2：《天体运行论》

《天体运行论》（De Revolutionibus Orbium Coelestium）又名《试论天体运行的假说》是波兰天文学家哥白尼所著的一本讲述他自己的天文学说的著作。

3：《物种起源》

作者：达尔文

达尔文(Charles Robert Darwin, 1809 – 1882)论述生物进化的重要著作，出版于1859年11月24日。该书大概是19世纪最具争议的著作，其中的观点大多数为当今的科学界普遍接受。在该书中，达尔文首次提出了进化论的观点。他使用自己在1830年代环球科学考察中积累的资料，达尔文试图证明物种的演化是通过自然选择（天择）和人工选择（人择）的方式实现的。

4：《自然哲学之数学原理》

作者：艾克萨.牛顿

英国伟大的科学家艾萨克·牛顿的代表作。成书于1687年。《自然哲学的数学原理》是第一次科学革命的集大成之作，被认为是古往今来最伟大的科学著作，它在物理学、数学、天文学和哲学等领域产生了巨大影响。

5：《心血运动论》

作者：威廉.哈维

这本书是由英国伟大的生理学家和胚胎学家威廉·哈维于1628年公开发表的。这本书的出版震惊了当时的医学界和生理学界，它的观点从根本上推翻了统治人们头脑上千年的关于心脏运动和血液运动的经典观点，提出血液是循环运行的，心脏有节律的持续搏动是促使血液在全身循环流动的动力源泉。

6：《相对论和空间问题》

相对论是关于时空和引力的基本理论，主要由爱因斯坦(Albert Einstein)创立，分为狭义相对论(特殊相对论)和广义相对论(一般相对论)。相对论的基本假设是相对性原理，即物理定律与参照系的选择无关。狭义相对论和广义相对论的区别是，前者讨论的是匀速直线运动的参照系（惯性参照系）之间的物理定律，后者则推广到具有加速度的参照系中（非惯性系），并在等效原理的假设下，广泛应用于引力场中。相对论和量子力学是现代物理学的两大基本支柱。经典物理学基础的经典力学，不适用于高速运动的物体和微观领域。相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。相对论颠覆了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“时间和空间的相对性”、“四维时空”、“弯曲空间”等全新的概念。狭义相对论提出于1905年，广义相对论提出于1915年。

7：《论法的精神》

该书所倡导的法制、政治自由和权力分立是对神学和封建专制的有力抨击，成为此后资产阶级大革命的政治纲领。特别是为孟氏所第一次正式提出的分权与制衡理论，对近代以来的资产阶级政治实践和政治思想产生了直接而深远的影响。经过法、美资产阶级革命的实践，已经成为资产阶级国家构建民主制度和政权体制的组织原则。孟氏所集中讨论的不是具体的法律规范本身，而是法的精神，即法律符合人类理性的必然性和规律性。所以，孟氏把法律置于决定地位，认为只有法律才能保障人民的自由权利，而专制则是对人性的蔑视和对自由的践踏。他进而深入探讨了自由赖以存在的体制条件，并借此找到恢复自由的基本手段──三权分立，以权力制约权力，防止权力滥用。主张宪法统率下权力分立与制衡的政治制度。使法律、自由与宪法结合起来，奠定了宪政理论的基本框架，这也是孟氏对政治理论最杰出的贡献。

8：《国富论》

书中总结了近代初期各国资本主义发展的经验，批判吸收了当时的重要经济理论，对整个国民经济的运动过程做了系统的描述，被誉为"第一部系统的伟大的经济学著作"。

该书的伟大成就之一是摒弃了许多过去的错误概念。亚当·斯密驳斥了旧的重商学说。这种学说片面强调国家贮备大量金币的重要性。他否决了重农主义者的土地是价值的主要来源的观点，提出了劳动的基本重要性。亚当·斯密(分工理论)重点强调劳动分工会引起生产的大量增长，抨击了阻碍工业发展的一整套腐朽的、武断的政治限制。

9：《战争论》

《战争论》是克劳塞维茨在总结以往战争特别是拿破仑战争的基础上写成的
10：《精神分析论》

该理论是在治疗精神障碍的实践中产生的，后来成为一种强调无意识过程的心理学理论，有时称为“深层心理学”。

    1.对好底部十字。

    这一步快速的方法是现在顶层对好十字，也就是黄色层对好底部白色的十字。形成一朵小花。然后都翻转到底部去，形成底部十字。

    2.对好底部边角。

    这一步主要是两种形式。每种都是三步。拿正魔方，如果黑色在右上角的右边，为  R------  U -------R" 如果在右上角的前边，则为   F"----U"" ------F

    3.对好中间层。

    这一步是接孩子放学。主要有两种。拿正魔方。  从顶层找非黄色的楞。对好前边或右边，如果是对好前边，则为 U----R-----U“-----R"-----U"-----F"---U--F

    如果是对好右边，则为 U"----F'"-----U-----F-----U------R-----U"-----R""

    4.对好顶层十字。

    这一步需要手法，一个公式即可。如果是小L,则小L在右前方。如果为一字，则一字平行于自己。如果没有一个，则随便摆放。手法如下：F-----(R----U-----R"-----U")----F".括号内为手法。 一字需要一次即可对好顶部十字。小L需要在转F  和F”时，前面两层一块转。没有一个在顶部的话，需要重复两次。

    5.对好顶面黄色。

    这一步需要一个公式，就是小鱼1和小鱼2.    小鱼1和小鱼2的看法是，头部在左后方。小鱼1和小鱼2是就差3个黄色不在顶层面上，否则为2后4左的摆放方法，然后执行一次小鱼1就能形成小鱼1和小鱼2的样式。小鱼1的样式是最后边角黄色在后面，小鱼2的样式是最后边角黄色在右面。

    小鱼1公式：   R"-----U"--------R--------U"------R"-----U"-----U"-------R  顶层一直逆时针旋转。小鱼2公式：F-------U-----F"------U-----F----U------U------F",顶层一直在顺时针旋转。

    6.对好顶部边角。

这一步需要一个手法记忆，而且简单。否则很难记住。摆放方法为黄色面向自己，其中找到对好的两个边角朝右。如有找不到对好的两个边角，则需要此手法执行两次，同样黄色面向自己，黄色朝前。手法是：R"----R"-----D----D----(R"-----U"-------R)----D----D---(R"----U----R"),括号内为手法执行。

    7，对好顶部中间棱角。这一步不需要公式，只需要第5步的小鱼1+旋转180+小鱼2或者小鱼2+旋转180+小鱼1。并且是有一面已经对好。其他三个逆时针为小鱼1+180+ 小鱼2，并且对好的这面朝前。其他三个顺时针为小鱼2+180+小鱼1.并且对好的这面为朝右，开始执行。如果找不到对好的一面，拿正魔方即可，然后执行小鱼1+180+小鱼2就可以形成对好的一面。